1.引言
大家是否还记得自己人生中第一堂数学课学的是什么呢？对了！就是掰着手指头数数。我们先学习从1数到10，然后再数到100，聪明的孩子总是数得又快又准。再往后是1000，10000，…，后来我们知道这串数字可以无穷无尽地列下去，于是我们就有了直观中数学的第一个概念——自然数。
自然数是我们再熟悉不过的一个概念了，熟悉到我们以为它们的出现就是天经地义，但是如果问“1”到底是什么？1+1究竟为什么等于2，估计很多人就要低头沉吟一番，然后给出一个稀奇古怪的答案。
数学中的任何一个概念都是需要有严格定义的，不允许有任何含糊不清的成分在里面。在古典数学时期，由于人们所探讨的问题比较原始和简单，因此对概念不加定义地使用，不会带来严重问题。但随着数学研究的深入，胡乱地使用概念便会带来灾难性后果，最著名的例子就是微积分创立初期，由于“无穷小量”这一概念含糊不清，甚至引发了第二次数学危机。可见澄清概念是一件多么重要的事情！
而对于自然数等基础概念的追问，则是要到19世纪末期与20世纪初期。那是一个风云激荡的年代，数学界、物理学界、哲学界都出现了惊天动地的转折。数学家们开始思考：数学的基础究竟是什么？数学证明的本质又是什么？并由此诞生出两大数学基础理论——集合论与数理逻辑。而对自然数概念的严格定义也是在此时出现的。
1889年，意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858-1932)，出版了他的代表著作《算术原理新方法》(Arithmetices principia, nova methodo exposita)，书中以另一位德国数学家戴德金(Dedekind, 1831-1916)的工作为基础，首次提出了一套算术公理系统。1901年他创立了《数学杂志》(Rivista di Matematica)，并在该杂志上对之前的算术公理系统进行优化，最终形成了所谓的“皮亚诺公理”(Peano Axiom)。
皮亚诺
2.皮亚诺公理的具体内容
“皮亚诺公理”就是目前数学界所普遍采用的自然数的定义，它是由若干条公理组成的。简单来说，自然数集的本质是一个满足几条性质的集合，我们并不关心包含的元素具体是什么，只关心这个集合满足的这几条性质。如果一旦满足这几条性质，这个集合就称为自然数集，集合中的每一个元素都称为一个自然数。
那么究竟是哪几条性质呢？我们来具体看一下。
对于一个集合A，如果它满足以下几条性质：
1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”(或者“0”，这取决于你是否把0看成自然数)；
2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中找到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作”a+”；
3. A中任何一个元素的后继都不是1；
4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条性质：第一，1∈B；第二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A
则称A为一个自然数集
写到这里，估计很多小伙伴就会忍不住点退出了，不要着急！且听我慢慢道来。
上面的东西虽然看起来乱糟糟，但每一条都无非就是一个性质。也就是说如果你找到一个集合，它能够满足上面几条性质，这个集合就可以称为一个自然数集。于是就会面临新的问题：真的有集合能够满足上面的所有性质吗？如果有的话，只有一个集合吗？我要到哪里找这个种集合呢？
其实这才是本文的重点，我就用我们日常生活中再熟悉不过的微信群做例子，来找这样一个集合出来。
3.用微信群来构造自然数
其实，我们已经不知不觉地完成了自然数的构造
为什么我敢如此断言呢？只需要逐一检查它是否满足上面的几条性质就可以了。
- 1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”
我是群主嘛，所以我肯定在这个群里，我就把自己叫成“1”
- 2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中找到另外一个唯一的元素与之相关联，称为a的“后继”，把它记作”a+”；
这个是由群规保证的。对于群里的每一个成员，他进群时肯定会拉一个自己的小伙伴进来，这个小伙伴就是他的后继。
- 3. A中任何一个元素的后继都不是1；
1就是我呀，因为群是我建的呀，所以我不是被任何人拉进来的。
- 4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
这一条也是很显然的。群里每个人都拉了一个自己的小伙伴进来，当然有可能两个不同的人想拉同一个人进来。比如小张和小明都想拉小红进来，如果后来的小明发现小张已经把小红拉进来了，那么他只好再找另外一个人拉进来。所以肯定是不同的两个人拉的小伙伴们也不一样，这一条可以得到满足。
- 5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条性质：第一，1∈B；第二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A。
这一条比较复杂。假如某一天有个成员想偷偷建个小群，结果被我知道了。我很不开心：明明是我建的群嘛，你却在底下拉帮结派。不过，仁慈的我不是不同意，但是有条件：你建小群可以，但是，第一得把我拉进去，第二你也得立一条群规，有谁想进你这个小群，就必须把自己在大群的小伙伴拉进来。
第五条性质虽然比较复杂，但它是我们在高中学过的数学归纳法的基础。
经过这样一番操作，你会发现，这个小群和原来的大群明明就是一样的呀。对喽！这说明第5条性质得到了满足。
好了，到此为止5条性质全部检验完毕！我真的找到了这样一个集合。那么它就可以看成是一个自然数集，包含的元素是：我，我的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴的小伙伴，…，妈耶，嘴皮子都不利索了。那干脆，因为我叫1，那我就把我的小伙伴叫为2，我的小伙伴的小伙伴叫为3，…，这不就是我们熟悉的自然数吗。
通过这个例子，相信大家已经能从直观上理解皮亚诺公理了。当然，这样的集合肯定不止这一个，我可以建微信群，你也可以建微信群，他也可以建微信群，每一个这样的微信群，其实都是一个自然数集合。甚至你还可以举出自己构造的一些其它的例子来，所以理论上自然数集是有无穷多个的。但是这些集合彼此之间又具有相同的结构，所以就不把它们做区分了，通通称为自然数集，一个自然数集中的每一个元素就称为一个自然数。
在这无数多个自然数集中，有一个最简单的自然数集，就是我们在中学时学的那个自然数集：
N={1，2，3，4，5，…，}
所以我们学的自然数，只是自然数的一个特例。这种说法听起来非常奇怪，但其实在数学上这种处理方法非常常见。它的核心就是所谓的等价关系(equivalent relation)和同构(isomorphism)。
4.”实无限”和“潜无限”
到这里故事就结束了吗？不，远远没有。
敏锐的同学们估计已经想到了，既然每个成员都要拉一名新人进来，这样一来就没完没了了，微信群永远也灌不满，我们还能把这个微信群本身当成一个集合吗？这就涉及到了两个非常重要的概念：“实无限”和“潜无限”。
“实无限”和“潜无限”是人们对于无限这个概念的两种观念。古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle)在历史上第一次对二者进行了区分。
简单来说，“潜无限”认为，无限是一个无穷无尽，永恒延续的过程，由于它永远无法完成，因此不能被当成一个整体来看待。而“实无限”与之相反，认为实现是一个完成了的实体，我们可以把它当成一个整体来看待。
这其实就触及了我们刚才的问题，一个包含了无限多个成员的微信群，究竟是不是一个单独存在的微信群。很显然，在皮亚诺公理中，我们实际上是把包含无限元素的集合当成一个整体来看待的，因此现代数学实际上是建立在“实无限”的观念之上的。
接受了“实无限”的观念，也就可以接受自然数这个概念了。
当然这对整个数学大厦来讲，还仅仅只是个开始，我们定义完自然数，还要在此基础上定义整数，有理数，无理数，实数，复数等等一系列概念，这一过程也是无比艰辛的，凝聚了两千年来人类的智慧。但同时也反映出，数学是一个非常严谨的逻辑体系，任何想要学好数学的人，一丝一毫都马虎不得。
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- 发布日期：2024-01-23 13:48:23
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